Tập hợp không chỉ là một khái niệm trong toán học mà còn là một ứng dụng rất hữu ích trong thực tế. Vui lòng tham khảo các bài viết sau về tập hợp và hoạt động của chúng.
Contents
1. Khái niệm tập hợp là gì?
Tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản (nhưng không được định nghĩa cụ thể). Các tập hợp này sẽ được ký hiệu bằng các chữ in hoa, chẳng hạn như a, b, c, d…, n, x, y. Các phần tử của tập hợp cũng thường được biểu diễn bằng các chữ cái viết thường như a, b, c, d, e…, n, x, y.
Xem thêm: Các kí hiệu tập hợp trong toán học
Vậy các phần tử của tập hợp là gì?
Kí hiệu a ∈ a có nghĩa là a là phần tử của tập hợp a hoặc phần tử a thuộc tập hợp a. Mặt khác, a∉ a có nghĩa là a không thuộc a và a không phải là phần tử của tập hợp a.
Một tập hợp được biểu diễn bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của nó, hoặc chỉ bằng cách đề cập đến các thuộc tính của các phần tử trong tập hợp.
Đặt ví dụ: a = {1, -1} hoặc a = { x ∊ r/ x² +2 = 3 }
Tập hợp không có phân tử nào được gọi là tập hợp rỗng và có ký hiệu là Ø.
2. Biểu tượng và các bộ sưu tập khác:
Tập hợp các số tự nhiên được quy ước ký hiệu là n
n={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12..}
Tập hợp các số nguyên thường được ký hiệu là z
z={…-5, -3, -1, 0, 1, 3, 5…}
Tập hợp các số nguyên gồm tử số tự nhiên và số nghịch đảo.
Tập hợp các số nguyên dương được biểu thị bằng n*
n*={1, 3, 5, 7, 9, 11,13,…}
Tập hợp các số hữu tỉ thường được kí hiệu là q
q={ a/b; a, b∈z, b≠0}
Số hữu tỉ cũng có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn hoặc hữu hạn.
Được biểu thị theo quy ước là tập hợp các số thực r
Mỗi số được biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn, còn được gọi là số vô tỷ. Tập hợp các số vô tỉ thường được kí hiệu là i. Tập hợp các số thực bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ.
Tập con phổ biến nhất của các số thực:
Ký hiệu -∞ được đọc là vô cực âm (hoặc vô cực âm), và ký hiệu +∞ được đọc là vô cực dương (hoặc vô cực dương).
Mối quan hệ của các tập hợp số:
Ta được: r = q ∪ i
đặt n ; ;hỏi;
Mối quan hệ bao hàm giữa các bộ số như sau: n ⊂ z ⊂ q ⊂ r
Đang xem: Tuổi Quý Dậu sinh năm 1993 mệnh gì? Hợp tuổi, màu gì?
Mối quan hệ giữa các bộ số được thể hiện rõ ràng nhất bằng sơ đồ tĩnh mạch. Sơ đồ Venn là một sơ đồ logic thể hiện các mối quan hệ có thể có giữa các tập hợp hữu hạn khác nhau. Sơ đồ Venn có thể được biểu diễn như sau.
Tập hợp con
Vậy tập hợp con là gì? Chúng ta có thể gọi a là tập con của b và biểu thị a ⊂ b khi và chỉ khi x ∈ a suy ra x ∈ b
Hai tập hợp bằng nhau:
Tập hợp a và tập hợp b được gọi là bằng nhau khi các phần tử của hai tập hợp đó bằng nhau và được biểu diễn bằng a = b
a = b iff a ⊂ b và b ⊂ a.
3. Thao tác cài đặt:
Toán học tập hợp là một khái niệm tương tự như số học cơ bản với các con số. Một tập hợp trong toán học có thể là một tập hợp hữu hạn các đối tượng, có thể là các số, chữ cái hoặc bất kỳ đối tượng nào trong thế giới thực. Đôi khi cần phải thiết lập mối quan hệ giữa hai hoặc nhiều bộ sưu tập. Các phép toán tập hợp là các phép toán được áp dụng cho hai hoặc nhiều tập hợp để thiết lập mối quan hệ giữa chúng.
Có bốn loại phép toán tập hợp chính: hợp, giao, hiệu và bù.
3.1. Công đoàn:
Với hai tập hợp a và b đã cho, a ∪ b (đọc là hợp b) là tập hợp các phần tử riêng biệt thuộc tập hợp a và b hoặc cả hai. Số phần tử trong a ∪ b được cho bởi n(a∪b) = n(a) + n(b) − n(a∪b), trong đó n(x) là số phần tử trong tập hợp x. Để hiểu rõ hơn về hoạt động tập hợp này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ: nếu a = {1, 2, 3, 4} và b = {4, 5, 6, 7}, thì hợp của a và b được cho bởi a ∪ cho b = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
3.2. Nhiệm vụ:
Với hai tập hợp a và b đã cho, a∩b (đọc là giao b) là tập hợp các phần tử chung của cả hai tập hợp a và b. Số phần tử của a∩b được cho bởi n(a∩b) = n(a)+n(b)−n(a∪b), trong đó n(x) là số phần tử của tập hợp x. Để hiểu rõ hơn về phép toán tập hợp này của các tập hợp giao nhau, ta xét một ví dụ: nếu a = {1, 2, 3, 4} và b = {3, 4, 5, 7} thì các điểm với a và b giao nhau là a ∩ b = {3, 4}.
3.3. Chính tả:
Thao tác tập hợp Sự khác biệt giữa các tập hợp Trừ các phần tử khỏi một tập hợp, tương tự như khái niệm về sự khác biệt giữa các số. Hiệu giữa tập hợp a và tập hợp b được ký hiệu là a ∖ b, liệt kê tất cả các phần tử trong tập hợp a nhưng không có trong tập hợp b. Để hiểu rõ hơn về hoạt động của tập hợp này, ta xét một ví dụ: Nếu a = {1, 2, 3, 4} và b = {3, 4, 5, 7} thì hợp giữa các tập hợp a Hiệu b là a ∖ b = {1, 2}.
3.4. Bổ sung:
Cho a là tập con của tập e. Phần bù của a trong x là xa, và gọi cxa là tập hợp gồm hai phần tử của e không phải là phần tử của a. Để hiểu rõ hơn về hoạt động tập hợp của phần bù tập hợp, chúng ta hãy xem xét một ví dụ: for set a={2;3;4},b={1;2} then cab =a∖b={3;4}
4. Các thuộc tính của thao tác thu thập:
Bản chất của các phép toán tập hợp tương tự như các phép toán cơ bản của các số. Các thuộc tính quan trọng của thao tác tập hợp được tóm tắt bên dưới:
Luật giao hoán: Với hai tập hợp a và b bất kỳ, luật giao hoán được định nghĩa là:
a ∪ b = b ∪a
Điều này có nghĩa là phép toán tập hợp trên hợp của hai tập hợp là giao hoán.
a b = b ∩ a
Điều này có nghĩa là các phép toán tập hợp cắt hai tập hợp là giao hoán.
Quy tắc kết hợp – Đối với bất kỳ bộ ba bộ a, b và c đã cho nào, các thuộc tính kết hợp được định nghĩa là,
(a ∪ b) ∪ c = a ∪(b ∪c)
Điều này có nghĩa là phép toán tập hợp của phép hợp các tập hợp là phép toán kết hợp.
(a∩b)∩c=a∩(b∩c)
Điều này có nghĩa là phép toán giao của các tập hợp là phép toán nối.
Định luật de-morgan– Định luật de-morgan phát biểu rằng đối với hai tập hợp a và b bất kỳ, chúng ta có (a ∪ b)’ = a’ ∩ b’ và (a ∩ b)’ = a’ ∪ b’
-a∪a=a
Đang xem: 2 cách xem các trang đã thích trên Facebook
-a∩a=a
-a=
– a = a
– a b a
– a ⊆ a ∪ b
Lưu ý quan trọng về hoạt động thu tiền
Công thức toán học của hợp tập hợp là n(a∪b) = n(a) + n(b) − n(a∩b), công thức toán học của giao tập hợp là n(a∩ b) = n( a )+n(b)−n(a∪b).
Hợp của tập hợp bất kỳ và tập hợp phổ biến sẽ tạo ra tập hợp phổ biến và giao của bất kỳ tập hợp a và tập hợp phổ biến nào sẽ tạo ra tập hợp a.
Hợp nhất, giao nhau, trừ và bù là các phép toán khác nhau trên tập hợp.
Phần bù của tập phổ quát là tập rỗng u′ = ϕ. Phần bù của tập hợp rỗng là tập hợp đầy đủ = u.
5.Một số bài tập có lời giải:
Ví dụ 1: Trong một trường học, mọi học sinh đều chơi bóng đá hoặc bóng bàn hoặc cả hai. Người ta thấy rằng 200 học sinh chơi bóng đá, 150 học sinh chơi bóng bàn và 100 học sinh chơi cả hai môn này. Sử dụng công thức toán học đã đặt để tìm hiểu xem trường đó có bao nhiêu học sinh.
Lời giải: Gọi số học sinh chơi bóng đá là n(f) và số học sinh chơi bóng bàn là n(s). Ta có n(f) = 200, n(s) = 150 và n(f ∩ s) = 100. chúng tôi biết,
n(f∪s) = n(f) + n(s) − n(f∩s)
Do đó, n(f∪s)=(200+150)−100
n(f∪s) = 350 − 100 = 250
Trả lời: Vậy tổng số học sinh của trường là 250 học sinh.
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
Nếu a = {a, b, c, d, e}, b = {a, e, i, o, u}, u = {a, b, c, d, e, f, g, h ,i,j,k,l,o,u}. Làm như sau trên bộ sưu tập và tìm giải pháp.
a) hợp b (a ∪ b) b) giao b (a ∩ b) c) phần bù của tập hợp a (a’) d) a trừ b
Giải: a) a ∪ b = {a, b, c, d, e, i, o, u}
b) a ∩ b = {a, e}
c) a’ = {f, g, h, i, j, k, l, o, u}
d) a – b = {b, c, d}
Do đó, một tập hợp là một tập hợp các phần tử. Một số ví dụ thực tế về tập hợp là danh sách tất cả các tiểu bang trong một quốc gia, danh sách tất cả các hình dạng trong hình học, danh sách tất cả các số nguyên từ 1 đến 100. Chúng ta có thể xác định các vùng chung bằng cách sử dụng phép toán giao nhau.
Đang xem: Nguồn gốc và ý nghĩa ngày Tết Hàn thực 3/3 âm lịch
